[역설 나라의 앨리스] 제6장. 괴델 수와 모순

수학동아 2022년 06호

931년 오스트리아 출신 미국 수학자 쿠르트 괴델이 발표한 ‘불완전성 정리’는 모순 없는 공리계를 만들고자 노력한 수학자들의 희망을 앗아가 버렸습니다. 그 이유가 무엇인지 알아봅시다.  ♥ 증명할 수 없는 문장 괴델의 불완전성 정리는 제1정리와 제2정리로 구성돼 있습니다. 두 정리 중 특히 ...

[역설 나라의 앨리스] 제5장. 힐베르트의 도전

수학동아 2022년 05호

야심찬 프로젝트였고, 많은 진전도 있었습니다. 1930년 오스트리아 수학자 쿠르트 괴델이 ‘1차 논리에서 참인 명제를 항상 증명할 수 있다’는 ‘완전성 정리’를 증명함으로써, 1차 논리라는 단순한 수학 체계에서는 모순이 없다는 사실을 보였습니다. 1차 논리란 명제에서 대상에 대해서만 ∀(= ...

[역설의 나라 앨리스] 제2장. 모순 웅덩이

수학동아 2022년 02호

않다는 사실을 증명하고자 했습니다.  그러나 1931년 오스트리아 수학자 쿠르트 괴델은  ‘불완전성 정리’라는 충격적인 내용을 발표합니다. 불완전성 정리에 따르면, 하나의 특정 수학 체계가 스스로 모순적이지 않음을 증명하는 것은 불가능합니다. 우리가 사용하고 있는 수학 체계를 포함해 ...

[역설 나라의 앨리스] 제1장. 역설 속으로!

수학동아 2022년 01호

체계로 증명할 수 없는 명제가 반드시 있다는 ‘괴델의 역설’이에요. 이 역설은 수학자들이 ‘더 ... 생각한 거지요. 그러나 20세기의 수학자 쿠르트 괴델은 매우 독특한 방법을 사용해서 거짓말쟁이 역설을 산술적으로 표현하는 데 성공했습니다. 그리고 이로부터 ‘모든 수학적 체계에는 증명할 수 ...

[특집] 연속체 가설을 무찌르기 위한 수학자들의 노력

수학동아 2021년 11호

없다는 것이 이미 밝혀져 있습니다. 1930년대 오스트리아 출신 미국 수학자 쿠르트 괴델은 현대수학의 표준 공리에 ‘구성 가능성 공리’를 더한 조건에서는 연속체 가설의 거짓을 보일 수 없다는 것을 증명합니다. 이것이 그 유명한 ‘불완전성 정리’입니다. 여기서 공리란 수학 이론체계에서 가장 ...

[인터뷰] 호기심의 최전선을 꿈꾼다, 최재경 제8대 고등과학원장

수학동아 2020년 06호

만든 물리학자 알베르트 아인슈타인, 불완전성 정리를 증명한 수학자 쿠르트 괴델, 컴퓨터 발전에 이바지한 수학자 폰 노이만과 앨런 튜링의 공통점은 무엇일까요? 바로 미국 프린스턴 고등연구소(IAS)에서 연구했다는 점입니다.IAS는 수학, 물리학, 생물학, 역사, 사회 과학 등의 연구자들이 강의나 ...

[이달의 수학자] 수학의 불완전성 밝힌 '불완전한 천재' 쿠르트 괴델

수학동아 2020년 04호

   

[수학뉴스] 머신러닝에도 괴델의 정리가?

수학동아 2019년 02호

931년 오스트리아 수학자인 쿠르트 괴델은 연속체 가설이 수학적으로 참 또는 거짓인지 알 수 없다는 것을 밝힌 ‘불완전성 정리’를 발표합니다. 연속체 가설이란 정수 집합보다 원소의 개수가 많고 실수 집합보다는 원소의 개수가 적은 집합은 없다는 추측입니다. 그런데 최근 아미르 예후다요프 ...

Part 2. 인공지능, 인간 못 넘는다

수학동아 2018년 01호

과연 힐베르트의 생각은 옳았을까요? 1931년, 오스트리아의 수학자 쿠르트 괴델은 힐베르트를 충격에 빠지게 만든 사실을 발표합니다. 힐베르트의 생각대로 몇 가지 기호와 규칙을 만들어 수학에서만 쓸 수 있는 언어를 만들면 이 언어로 만든 수학 명제 중에 이 명제가 참인지, 거짓인지 알 수 없는 ...

Part 3. 역사의 흐름을 예측한다

수학동아 2018년 01호

  미국의 SF 작가 아이작 아시모프의 소설 ‘파운데이션’에 등장하는 수학자 해리 셀던은 개개인의 행동을 예측하는 방정식을 이용해 은하 제국의 미래를 예측합니다. 곧 중앙 권력이 부패하고 장군들이 반란을 일으켜 폐허가 될 거라고 말이죠. 평화와 번영이 가득할 것 같았던 은하 제국은 몇  ...