과유불급(過猶不及)과 부등식

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우리는 흔히 세상을 살아가며 어느 한쪽으로 치우치지 않게 행동해야 한다는 ‘중용(中庸)의 도(道)’를 이야기한다. 어떤 어려운상황에서도 삶의 중심을 지키면서 자신의 신념을 잃지 않는 상태를 중용이라고 할 수 있는데, 중용을 따르는 일은 말처럼 그리 쉽지 않다. 자신의 사리사욕(私利私慾)을 생각하지 않고 생활하기란 정 말 어려운 일이기 때문이다. 그런데 이와 같이 거창하게 철학적으 로 말하지 않고도 중용의 도를 지켜 나가는 방법이 있는데, 바로 ‘과 유불급’(過猶不及)이라는 고사에서 답을 찾을 수 있다. ‘지나친 것 은 미치지 못한 것과 같다’라는 뜻의 과유불급은 ‘논어’(論語) 선진편 (先進篇)에 나오는 말로 공자(孔子)와 그의 제자인 자공(子貢)의 대화에서 비롯됐다.



논어를 통해 볼 때, 자장과 자하는 대조적인 인물이다. 자장은 활달한 기상과 진보적 사고를 지니고 있던 반면, 자하는 매사에 신중하고 현실적인 행동을 하는 인물이었다. 아무튼 공자는 두 사람 모두를 중용의 도가 부족한 인물로 평가하고 있다.

부등호는 미국 원주민 칼 장식에서 유래



그런데 이런 기호는 대칭적이지 않고 기억하기도 쉽지 않아 기호 를 만든 사람들조차도 때때로 혼동하곤 했다. 그래서 해리엇의 기 호가 점점 널리 받아들여졌다. 또 ‘…보다 크거나 같다’와 ‘…보다 작 거나 같다’를 나타내는 부등호 ‘≥’와 ‘≤’는 18세기 프랑스의 과학자 피에르 부거가 처음 사용했다.

수학에서 부등식은 방정식만큼이나 중요하며, 부등식을 풀기 위 해서는 부등식의 성질을 잘 알아야 한다. 등식의 성질은 매우 간단 하지만 방정식을 푸는 강력한 도구이듯이 부등식의 성질도 간단하 지만 부등식을 푸는 강력한 도구다. 그런데 부등식의 성질은 등식 의 성질과는 다르다. ‘2<4’이지만 ‘2×(-3)>4×(-3)’과 같이 음수 를 곱하면 부등호의 방향이 바뀌므로, 곱하거나 나눌 때 양수인지 음수인지를 구별해야 한다. 이와 같은 부등식의 성질을 정리하면 다음과 같다.



사실 실생활에서는 방정식보다는 부등식을 더 많이 사용한다. 예 를 들어 물건을 팔 때 얼마 이상으로 팔아야 이익이 되는지, 키가 누 구보다 크다든지 또는 작다든지 할 경우도 모두 부등식으로 나타내 야 하는 상황이다. 부등식상황은 자연 상태에서도 만날 수 있는데, 대표적인 예가 눈송이를 이루고 있는 눈의 결정이다. 눈 결정은 크 기가 평균 2mm 정도이고 모양은 정육각형이 가장 많으며 바늘, 기 둥, 나뭇가지 등 여러 가지를 닮았다. 기온과 공기에 포함된 수증기 의 양에 따라 만들어지는 눈 결정 모양이 서로 다르기 때문이다.

-16℃<기온<-10℃인 경우에 형성되는 눈 결정은 흔히 우리가 ‘*’로 나타내는 모양이며 대개 정육각형이다. 특히 -10℃에 가까울 수록 좀 더 정육각형에 가까운 결정을 이룬다. -10℃<기온<-4℃ 인 경우는 바늘 모양이거나 육각기둥 모양의 결정을 이룬다. -4℃ <기온<0℃인 경우는 -10℃ 이하에서 생기는 결정과 같이 다시 정육각형 모양이 나타나며, 눈 결정이 생성되는 성장속도는 -10℃ 이하일 때보다 느리다.

한여름, 눈 결정이 만들어지는 온도 부등식을 생각하면서 잠시 무더위를 잊 어 보면 어떨까.

이광연 교수는 성균관대 수학과를 졸업하고 동대학원에서 석사와 박사학위를 받았다. 그뒤 미국 와이오밍주립대에서 박사후 연구원을, 아이오와대에서 방문교수를 지냈다. 현재 한서대 수학과 교수로 재직 중이며, ‘웃기는 수학이지 뭐야 ’ ‘ 신화 속 수학이야기 ’‘수학 블로그 ’같은 책을 펴냈다.

글 : 이광연 한서대 수학과 교수 기자 gylee@hanseo.ac.kr
과학동아 2009년 07호