[수학동아클리닉](초등)각기둥과 각뿔 요리하며입체도형탐구하기 (중등)작도로 즐기는 하트 모양디자인

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입체도형을 학습할 때는 3차원 입체를 2차원 평면으로 표현하거나 2차원 평면을 3차원 입체로 해석하는 능력이 필요합니다. 6학년 첫 단원인 각기둥과 각뿔을 통해 입체도형을 어떻게 탐구해야 할지 함께 생각해 봅시다.

각기둥 보며 탐구하기

교과서에서는 평면 그림만으로 입체도형에 대해 알아보다가 단원의 마지막 부분이 돼서야 각기둥과 각
뿔을 만들어 보는 활동이 나옵니다. 하지만 입체도형을 학습할 때는 실제로 입체도형을 관찰하면서 수업
하는 것이 훨씬 효과적입니다. 각기둥과 각뿔을 처음 다룰 때는 교과서 준비물(1~6쪽)을 이용해 각기둥과 각뿔 만들기를 먼저 해 보는 것이 좋습니다.

각기둥과 각뿔을 만든 다음에는 교과서 13쪽과 18쪽에 나오는 ‘입체도형을 2가지로 분류하는 활동’을
재구성해 한 번에 마치는 것이 좋습니다. 이후 3개의 각기둥과 3개의 각뿔을 책상 위에 놓고 교과서에서
제시하는 활동을 하게 합니다. 교과서의 평면 그림보다는 입체도형의 특성에 맞게 손으로 수직인 면, 평
행한 두 면을 만져보면 학생들이 입체도형의 특성을 쉽고 재밌게 익힐 수 있습니다.

이때 학생들은 입체도형에서 ‘밑면’이라는 용어가‘아래에 있는 면’이라고 오해하는 경우가 많습니다.
밑면의 뜻을 정확하게 설명해 주는 것이 좋습니다. 밑면은 밑에 있다는 뜻이 아니라 어떤 기둥인지 결정
하는 기본적인 면을 뜻합니다. 각기둥을 정의할 때는 다음의 방법이 효과적입니다.
 

각기둥의 전개도를 배우는 차시에서는 지금까지 관찰했던 각기둥을 다시 해체해 전개도로 활용하면
서 3차원을 2차원으로, 2차원을 3차원으로 변환하는 것에 대해 이야기하면 좋습니다.

각뿔 보며 탐구하기

이번에는 각기둥에 이어 각뿔입니다. 첫 번째 수업에서 만든 각뿔을 보면서 다음의 활동을 합니다.
 

만들어 놓은 각뿔을 책상에 놓고 위에서 내려다보면 각뿔의 옆면이 모두 보입니다. 위에서 본 밑면의 모양에 따라 각뿔의 이름이 결정되고, 옆면의 개수가 정해진다는 것을 통해 각뿔의 이름을 찾을 수 있습니다. 또 각뿔의 옆면과 밑면을 대고 그리는 두번째 활동을 통해서는 각뿔의 옆면이 모두 삼각형이라는 사실을 알게 됩니다. 이때 종종 학생들이 각뿔의 모서리를 각뿔의 높이라고 생각하는 경우가 있습니다. 각뿔의 높이는 어떻게 재야 할지 생각해 보게 하고, 책상에 놓인 각뿔의 높이를 직접 재어보게 하면 좋습니다.





 

한편 각기둥과 각뿔의 꼭짓점, 면, 모서리의 수 사이에는 오일러의 법칙인 V-E+F=2가 적용됩니다. 여기서 V, E, F는 각각 결정면, 모서리, 꼭짓점을 나타내지요. 오일러의 법칙은 결정의 규칙성과 관련된 법칙으로, 광물의 결정에서 광물의 결정면의 수와 꼭짓점의 수의 합은 모서리의 수에 2를 더한 값과 같다는 법칙을 말합니다. 결정은 결정면, 모서리, 꼭짓점의 종류와 수에 따라 위의 그림과 같이 여러 가지 형태를 갖게 됩니다. 각기둥과 각뿔이 광물의 결정이 만들어지는 규칙과도 연관이 있다는 것을 알려주면 수학의 유용성에 대해서도 알게 될 것입니다.
 
 

수업의 목표

대부분의 학생들이 도형의 작도 수업을 어려워하기때문에 작도를 통해 수학의 원리를 깨달으면서도 수학이 생활 속에 있다는 것을 알려 주고 싶었다. 그러던 중 원과 사각형을 이용해 하트 모양을 만들 수 있다는 것을 알게 되었다. 이런 활동을 통해 학생들은 작품을 만들면서 자연스럽게 중1 작도 단원을 쉽고 재밌게 배우고 수학적 원리도 오랫동안 기억할 수 있다.

특히 하트 모양을 작도하는 과정에는 원과 정사각형, 수직이등분선의 작도가 들어 있어 작도의 기본 성질을 활용할 수 있고, 완성한 하트 모양에서 수학적 성질을 찾아볼 수도 있다. 더불어 학생들은 하트 모양 이외에도 창의적으로 다양한 모양을 만들 수 있으며, 완성한 하트 모양으로 책갈피나 가방을 장식해 실생활에 활용할 수도 있다.

수업의 배경 이론

‘작도’란 자와 컴퍼스, 연필만으로 특정 도형을 수학적으로 증명 가능하도록 그리는 것을 뜻한다. 기본도
안 작도에 필요한 선분의 수직이등분선은 다음과 같은 단계에 따라 작도할 수 있다.

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수업의 흐름

1. 기본도안 작도하기

하트 모양을 디자인하려면 먼저 기본도안을 작도해야 한다. 기본도안 작도는 다음과 같이 6단계로 한다.

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2. 하트 모양 만들기

❶ 기본적인 하트 만들기

1에서 만든 기본도안을 2장 준비한다. 두 기본도안의 색을 다른 색으로 준비하면 더 예쁜 하트를 만들 수 있다. 두 기본도안에서 사각형을 4등분한 선분(빨강색)을 가위로 자른다. 그런 다음 아래 그림과 같이 기본도안 2장을 서로 직각으로 엇갈리도록 끼워 넣으면 체크무늬가 있는 하트 모양을 만들 수 있다.

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❷ 반원을 이용해 다양한 하트 만들기
반원을 이용하면 훨씬 다양한 하트 모양을 만들 수 있다. 아래와 같이 정사각형 안에 대칭이 되도록 반원을 다양한 위치에 그린 다음 잘라낸다. 앞쪽과 같은 방법으로 두 기본도안을 직각으로 엇갈리도록 끼워 넣으면 여러 가지 무늬의 하트 모양을 만들 수 있다. 몇 가지 예시를 학생들에게 보여 준 다음 학생들이 자신만의 독창적인 아이디어를 발휘해 다양한 하트 모양을 만들 수 있도록 안내한다.

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수업을 마무리하며

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하트 모양을 만드는 활동 안에는 기본적인 원과 사각형 작도가 포함돼 있어 중학교 1학년 작도 단원의 내용과 직접 연결된다. 더불어 닮음비와 넓이의 관계를 자연스럽게 이해하고, 생활 속에서 발견할 수 있는 수학의 규칙성도 알 수 있다. 자유롭게 색을 배합하면서 자신만의 하트 모양을 만들어 보는 과정에서 학
생들이 색채 구성에 대한 의미와 효과를 이해하게 돼 창의적인 사고력을 기르는 데도 도움이 된다.

마지막으로 학생들이 완성된 작품을 서로 비교하고 평가하면서 나와 생각이 다른 동료 학생에 공감하거나 작품을 분석하고 감상하는 능력도 키울 수 있다.




 

글 : 이경희 경기 세종초 교사
글 : 안정덕 인천 동산중 수학과 교사
진행 : 장경아 기자 kate103@donga.com
수학동아 2016년 01호


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