끄덕여지는 대답이었습니다. 특히나 “수학의 본질은 그 자유로움에 있다”는 칸토어의 말을 떠올리면 더욱 이해되죠. IBS 첨단연성물질 연구단은 물체에 대한 궁금증을 분야에 국한하지 않고, 다양한 도구를 사용해 풀어내는 곳입니다. 근본적인 질문에 대한 해답을 제시할 수 있는 가장 자유로운 ...
이 경우 ‘불완전하다’고 합니다. 일찍이 수학 체계는 독일 수학자 게오르크 칸토어가 수학의 토대를 구축하기 위해 만든 ‘집합론’에서 러셀이 모순을 발견해 위기를 겪었습니다. 이러한 위기는 러셀이 를 통해 새로운 이론을 제시하며 잠정적으로 해결한 듯했지만, 이론이 ...
생각은 틀렸다는 것은 흘러가는 시간이 증명해줬습니다. *러셀의 역설무한집합에 관한 칸토어의 집합론에서 발견된 역설이에요. 자기 자신을 원소로 갖지 않는 모든 집합의 집합은 자신을 포함하면서 동시에 포함하지 않게 되면서 모순이 발생해요. ◆ 가 러셀을 좌절하게 만들다 ...
집합론은 집합 R의 존재를 보장하기 때문입니다. 따라서 집합 R이 모순을 일으킨다면 칸토어의 집합론을 폐기할 수밖에 없지요. 이것은 집합론을 토대로 하는 모든 수학적 성과가 무너짐을 의미했습니다. 이 역설에 가장 큰 타격을 받은 사람은 독일의 수학자이자 논리학자인 고틀로프 ...
잠들었던 기억이 납니다. 집합론은 명실상부 현대 수학의 가장 큰 쾌거입니다. 칸토어가 19세기에 고안한 이후로 현재에 이르기까지 집합론은 수학의 본질을 포착하는 가장 유력한 이론으로 여겨지거든요. 도서관을 가서 대학 수준의 수학 교재를 펼쳐 보세요. 어느 책을 펼치든 십중팔구 첫 번째 ...
제가 말했던 무한의 크기에 관한 이야기도 직관적이지는 않잖아요. 실제로 19세기 후반 칸토어가 처음 무한의 크기를 이야기했을 때 수학자들도 쉽게 받아들이지 못했어요. 20세기 초반 독일 수학자 다비트 힐베르트(1862~1943)와 영국 수학자 버트런드 러셀(1872~1970)에 의해 수리철학의 토대가 ...
그렇다면 모든 무한 집합은 크기가 모두 같을까요? 놀랍게도 독일 수학자 게오르크 칸토어(1845~1918)가 실수 집합은 자연수 집합보다 크다는 사실을 증명했어요. 더 작은 무한과 더 큰 무한이 존재한다는 거예요. 그리고 이런 무한의 크기조차도 무한하다는 게 현대 수학에서 이해하고 있는 ...
수학 현상을 경험합니다. 마지막 밤에는 버트런드 러셀, 펠릭스 클라인, 게 오르크 칸토어, 카를 프리드리히 가우스, 레온하르트 오일러 등 이름만 들어도 알법한 역사 속 수학자들을 직접 만나지요. 재밌는 이야기에 빠져 있다 보면 어느새 다양한 수학 원리를 탐구하고 있게 됩니다. 가우스상 ...
알립니다. 당시의 수학계 상황을 살펴보면, 프레게는 독일의 수학자 게오르크 칸토어가 완성한 집합론을 사용해 수학의 체계를 논리적으로 증명하려 했어요. 프레게의 도전이 성공을 눈앞에 두던 때쯤 러셀이 프레게가 주장하는 논리의 모순을 발견한 거지요. 이것이 유명한 ‘러셀의 역설’이에요 ...
Q‘무한’을 셀 수 있다고요?A 무한이란 끝없이 계속되는 상태를 나타내는 단어예요. 무한을 이루고 있는 것들을 전부 다 세는 건 불가능하지요. 끝이 없으니까요. 하지만 저는 무한을 셌답니다! 제 대표 업적이죠, 하하. 하나의 대상을 다른 하나와 짝짓는 ‘일대일 대응’을 이용했어요. 우리가 1, ...