이를 만족하는 유리수가 무한히 많은 경우는 언제 나타나는지 밝히는 것이다. 즉 실수를 유리수로 근사시킬 때의 오차에 관한 정리다. 이런 업적으로 정수론계의 유망주로 떠오른 메이나드 교수는 2022년 필즈상을 거머쥐었다. 필즈상 수상 이후 그는 대중 강연에서 종종 모습을 드러내는데, ...
있다. 소인수분해를 자연수 범위에서만 하는 이유이기도 하다. 만약 소인수분해를 유리수 범위로 확장하면 6 = 12 × 1/2, 24 × 1/4, 30/3 × 3/5, …과 같이 무수히 많은 경우가 생긴다. 또 자연수 범위에서 유일하게 역수가 존재하는 수가 1이다. 그래서 1은 소수에서 제외하기로 약속했다. 그러면 역수가 ...
굉장히 추상적이지요. 수에 관해 더 이야기해보자면 우리는 자연수를 넘어서 정수, 유리수, 무리수, 실수, 나아가서 허수까지 확장해나가요. 제곱해서 음수가 되는 허수는 보이지 않는 수인 동시에 인위적으로 만든 개념이에요. 하지만 이 수가 현실 세계를 잘 설명하는 부분이 있어서 꼭 ...
하위헌스(1629~1695)는 라이프니츠를 시험해보려고 분모가 ‘삼각수’이고, 분자가 1인 유리수들의 무한급수가 수렴하는지를 묻는 문제를 냈어요. 라이프니츠의 풀이 과정을 보면 이 위대한 수학자조차도 유한과 무한을 혼동하고 있다는 사실을 알 수 있어요(59쪽 내용 참고). 그런 걸 보면 무한을 ...
없이 모두 일대일대응이 돼요. 그렇기 때문에 두 집합의 크기가 같아요. 자연수 집합과 유리수 집합의 크기가 같다는 것도 비슷한 방식으로 보일 수 있어요. 그렇다면 모든 무한 집합은 크기가 모두 같을까요? 놀랍게도 독일 수학자 게오르크 칸토어(1845~1918)가 실수 집합은 자연수 집합보다 크다는 ...
자연수부터순으로 채우고 0을 기준으로 반대쪽에 음수를 채웁니다. 그다음 사이사이에 유리수와 무리수를 채우면 실수라는 직선이 완성되지요. 그런데 a + bi라는 복소수는 실수 부분과 허수 부분을 2개의 직선으로 표현하다 보니 자연스럽게 2차 평면이 나왔고, 이게 복소평면이 된 거예요. 덕분에 a ...
그런데 √2√2가 무리수라면 어떨까요? (√2√2 )√2 는 밑과 지수가 모두 무리수인 유리수입니다. 이 논증은 틀리지 않았지만, 찝찝한 구석이 있습니다. 결국 우리가 찾고자 하는 ab가 (√2√2 )√2인지, (√2)√2인지 알려주지 않기 때문입니다. 선택 공리를 사용하는 논증은 대개 이런 비구성적 ...
연분수는 분모가 정수와 분수의 합으로 연달아 표기되는 분수로 무리수에 최대한 가까운 유리수 근삿값을 구할 때도 쓰여요. 이탈리아 태생의 프랑스 수학자 조제프 루이 라그랑주는 차크라발라법이 펠의 방정식의 해법이라는 것을 증명했어요. 또 펠의 방정식에서 d가 제곱수가 아닌 양수일 때 ...
데 공헌한 피타고라스 학파는 무리수를 인정하지 않았거든요. 그래서 를 최대한 유리수로 표현하기 위해 수학자들은 노력했어요. x2 - 2y2 = 1의 해를 구해 꼴로 나타냈어요. 그러면 에 가까운 값이 구해졌거든요. 예를 들어 x2 - 2y2 = 1을 만족하는 값이 x=577이고, y=408이면 x/y=577/408= 약1.41421568627이에요. ...
만족하는 유리수가 무한히 많은 경우가 언제 나타나는지 묻는 문제입니다. 즉 실수를 유리수로 근사시킬 때의 오차와 관련한 문제입니다. 위에서 소개한 문제들은 수십 년간 많은 수학자가 도전했지만 오랜 기간 동안 해결이 불가능하다고 여겨졌습니다. 대부분의 사람들은 어려운 문제에 도전할 ...