❶ 행성의 타원궤도 - 뉴턴 미적분, 죽은 케플러를 춤추게 하다

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❶ 행성의 타원궤도 - 뉴턴 미적분,죽은 케플러를 춤추게 하다❶ 행성의 타원궤도 - 뉴턴 미적분,죽은 케플러를 춤추게 하다


천문학자 니콜라우스 코페르니쿠스가 1543년에 지동설을 발표하자 지구가 우주의 중심이 아니라는 사실에 많은 사람들이 충격을 받았습니다. 불과 반세기 뒤, 또 하나의 충격적인 발견이 알려졌습니다. 요하네스 케플러라는 독일 천문학자가 관측을 통해 행성의 궤도가 타원이라 는 사실을 발견한 것입니다. 당시 상식으 로 행성의 궤도는 완전한 도형인 원 이외 의 것일 수가 없었습니다. 코페르니쿠스조차 이를 의심하지 않았으니까요.

당연히 반발이 많았지요. 사람들은 왜 행성 궤도가 타원이 되는지 따져 물었지 만 케플러는 설명하지 못했습니다. 케플러는 천재적인 과학자이자 수학자였지만, 행성 궤도를 수학적으로 증명할 수 있는 방법은 없었거든요. 오죽 했으면 “모든 행성 이 왜 타원을 그리는가를 생각하면 나는 미칠 것만 같았다”고 말했다고 합니다.


독일 천문학자 요하네스 케플러는 1605년 행성의궤도가 타원이라는 사실을 최초로 밝혀냈다. 하지만 왜타원이 되는지 수학적으로 증명하지는 못했다. 지동설을 발표한 코페르니쿠스조차도 행성의 궤도가 원형이 아닐 것이란 생각은 하지 못했다. 우주의 중심만 지구에서태양으로 바뀌었을 뿐이지, 코페르니쿠스도 우주는 신의 영역이라고 생각했다.독일 천문학자 요하네스 케플러는 1605년 행성의궤도가 타원이라는 사실을 최초로 밝혀냈다. 하지만 왜타원이 되는지 수학적으로 증명하지는 못했다. 지동설을 발표한 코페르니쿠스조차도 행성의 궤도가 원형이 아닐 것이란 생각은 하지 못했다. 우주의 중심만 지구에서태양으로 바뀌었을 뿐이지, 코페르니쿠스도 우주는 신의 영역이라고 생각했다.


타원 궤도 논쟁 끝장낸 미분법

케플러가 세상을 떠나자 이 문제는 과학계의 난제로 남습니다. 당대의 천문학자 에드먼드 핼리는 이 문제를 들고 아이작 뉴턴을 찾아갑니다. 당시 핼리는 만유인력 이 거리의 제곱에 반비례한다고 생각했는 데, 뉴턴 역시 같은 생각이었습니다(만유 인력 자체는 당시 과학자들 사이에 널리 퍼져있던 개념이라는 설이 유력합니다). 뉴턴은 한 걸음 더 나아가 만유인력이 이런 특성을 가질 때 행성의 궤도가 타원이 될 것이라는 사실도 알고 있었습니다.

핼리는 이 사실을 듣고 너무 놀란 나머 지 그 증명을 빨리 발표하라고 뉴턴을 재촉합니다. 핼리의 설득으로 1687년, 뉴턴은 타원 궤도 논쟁을 끝장낼 책을 출판합 니다. 바로 ‘자연철학의 수학적 원리(프린 키피아)’라는 유명한 책입니다. 핼리가 사비를 털어 도운 덕분에 뉴턴이 독자적으로 개발한 유율법(기하학적 미분법)이 세상에 알려질 수 있었습니다. 유율법은 오늘날의 미분법과 형태는 조금 다르지만 원리는 같습니다.


타원궤도를 작은 삼각형으로 쪼개다

먼저 그는 태양이 잡아당기는 힘이 지구의 운동 방향을 결정한다고 봤습니다. 이를 바탕으로 지구의 위치를 예상해 일정한 시간 간격으로 그렸습니다. 그리고 각 위치를 태양과 연결해 삼각형을 만들었습니다. 그러자 모든 경우 시간당 움직인 면적이 같다는 것을 알 수 있었습니다. 바로 오늘날 ‘면적속도 일정의 법칙’으로 알려진 케플러 제2법칙을 수학적으로 증명한 것입니다. 마지막으로 뉴턴은 삼각형을 점점 더 작은 삼각형으로 나누어 합 쳐보면 타원일 수밖에 없다는 사실을 밝혀냅니다. 지구의 공전궤도가 타원이라는 사실 역시 수학적으로 증명한 것입니다. 당시에는 수열의 극한이나 함수, 미적분 개념이 확립돼있지 않았지만 뉴턴은 놀라운 직관력으로 만유인력 법칙을 따르는 행성의 궤도는 타원일 수밖에 없다는 사실을 찾아냅니다.


뉴턴의 증명으로 비로소 타원궤도와 만유인력은 우주의 보편적인 법칙으로 인정받게 됩니다.뉴턴의 증명으로 비로소 타원궤도와 만유인력은 우주의 보편적인 법칙으로 인정받게 됩니다.

뉴턴의 증명으로 비로소 타원궤도와 만유인력은 우주의 보편적인 법칙으로 인정 받게 됩니다. 뉴턴이 독자적으로 발견한 사실은 아니지만, 만유인력을 수학적인 체계를 갖춘 법칙으로 발전시켰다는 점도 놀라운 업적입니다.


행성의 타원궤도를 밝히기까지브라헤와 케플러가 행성을 관측하며 발견한 타원궤도를 뉴턴이 수학적으로 증명1543년 -폴란드 천문학자 코페르니쿠스, 태양이 세상의 중심이라는 지동설을 주장1600년 -덴마크 천문학자 튀코 브라헤, 케플러에게 행성 관측 정보 전수1605년 -케플러, 브라헤에게 받은 정보를 분석하던 중 타원궤도 발견1684년 -핼리, 영국 케임브리지대에 있던 뉴턴 방문, 타원궤도 증명 발표 요청1687년 -뉴턴 ‘프린키피아’ 출간, 행성의 타원궤도와 만유인력 및 운동 법칙 발표1747년 -장 달랑베르와 알렉시 클레로, 3체 문제에 도전1772년 -라그랑주, 3체 문제에 도전했다가 실패1890년 -푸앵카레, 3체 문제에 일반적인 해법이 없음을 밝힘행성의 타원궤도를 밝히기까지브라헤와 케플러가 행성을 관측하며 발견한 타원궤도를 뉴턴이 수학적으로 증명1543년 -폴란드 천문학자 코페르니쿠스, 태양이 세상의 중심이라는 지동설을 주장1600년 -덴마크 천문학자 튀코 브라헤, 케플러에게 행성 관측 정보 전수1605년 -케플러, 브라헤에게 받은 정보를 분석하던 중 타원궤도 발견1684년 -핼리, 영국 케임브리지대에 있던 뉴턴 방문, 타원궤도 증명 발표 요청1687년 -뉴턴 ‘프린키피아’ 출간, 행성의 타원궤도와 만유인력 및 운동 법칙 발표1747년 -장 달랑베르와 알렉시 클레로, 3체 문제에 도전1772년 -라그랑주, 3체 문제에 도전했다가 실패1890년 -푸앵카레, 3체 문제에 일반적인 해법이 없음을 밝힘
 
행성 궤도도 알고 보니 ‘나비효과’

뉴턴은 태양과 행성 사이에 작용하는 만유인력의 원리를 밝혀냈다. 수학적인 계산을 통해 행성이 타원 궤도를 그린다는 사실도 증명했다. 그런데 실제 우주는 좀더 복잡하다. 예를 들어 지구의 궤도를 계산할 때 태양뿐 아니라 달도 고려해야 한다. 수학적으로 표현하면 ‘변수가 세 개 이상일 때 행성의 궤도는 어떻게 되는가’이다.

이를 ‘3체 문제’라고 하는데, 뉴턴 이후 수백 년 동안 수많은 수학자들이 도전했다 실패한 난제 중의 난제다. 샤를-유진 들로네라는 수학자는 태양 - 지구 - 달 계를 공략해서 복잡한 급수의 형태로 900쪽에 달하는 근사적인 공식을 만들었지만 실용성은 거의 없었다. 마침내 프랑스 수학자 푸앵카레가 1890년, 초기의 작은 차이가 큰 결과 차이를 낳기 때문에 3체 문제의 일반적인 해법을 구할 수 없다는 사실을 밝혀낸다. 이는 ‘나비효과’로 대표되는 현대 카오스 이론과 맥이 닿아 있다.


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글 : 기획·진행 변지민, 이한기 기자 here@donga.com
과학동아 2014년 08호


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