[수학]미분방정식

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과학에서 다루는 대부분의 변수들은 현재의 값이 앞으로의 변화량에 영향을 미친다. 함수와 그 함수를 미분한 함수사이의 관계가 주어진 식을‘미분방정식’이라한다. 자연 현상들은 대부분 미분방정식으로 표현할 수 있다.

Q1다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

(가) 방정식은 좌우 두 식이 서로 같음을 의미하는 수학적인 문장이다. 대부분의 방정식은 하나 이상 의 변수가 존재하고 변수가 특정한 값일 때만 식이 성립한다. 예를 들어 3 x = x + 6과 같은 방정식은 x가 3일 때만 성립한다. 이처럼 방정식이 성립하는 조건을 찾는 행위를‘방정식을 푼다’고 한다.

함수방정식이란 함수값들이나 함수들 사이의 관계를 방정식으로 표현한 것이다. f ( x+ y)= f ( x) f ( y) 같은 식은 함수방정식의 대표적인 예다. 함수방정식 중에서 함수와 그 함수를 미분한 함수 사이의 관계가 주어진 것을 미분방정식이라 한다. x+ f ′′( x)= f ( x), f ( x)= f ( x)-x2 같은 식들은 모두 미분방정식이다.

(나) A라는 도시의 시점 t에서의 인구를 f (t)라 하면 f′(t)는 f(t)에 비례한다. 현재의 인구가 많을수 록 인구가 증가하는 속도도 크기 때문이다. 이처럼 우리가 과학에서 다루는 대부분의 변수들은 현재 의 값이 앞으로의 변화량에 영향을 미친다. f (t)와 f ′(t)사이의 관계식이 존재하는 것이다. 로켓을 쏘아 올린 경우를 생각해보면, 지구로부터의 거리 d(t)가 클수록 중력이 작아서 속도의변화(가속도) d2(t)/dt2가 작다. 이와 같이 여러 가지 자연 현상들은 대부분 미분방정식으로 표현할 수 있다.

(다) 열은 항상 고온에서 저온으로 이동한다. 이때 고온의 물체에서 저온의 물체로 이동한 열의양 을 열량이라 한다. 만일 외부와의 열출입이 없다면, 고온인 물체가 잃은 열량은 저온인 물체가 얻은 열량과 같다. 이것을 열량 보존의 법칙이라고 한다.
같은 양의 열을 받더라도 물체마다 온도가 변하는 정도에는 차이가 있다. 이런 차이를 표현하기 위해서 비열이라는 개념을 사용하는데, 비열은 어떤 물질 1kg의 온도를 1K 높이는데 필요한 열량을 의미한다. 질량 m(kg)인 물체의 온도를△T(K)만큼 높이는데 필요한 열량이 Q(kcal)라고 하면, 그 물체의 비열 c는 c=Q/m△T 와 같다. (물의 비열은 1(kcal/kg·K)이다.)

(라) 물체의 온도가 높으면 분자들이큰 운동 에너지를 갖게 된다. 온도가 다른 물체와 접촉하고있 거나 한 물체 내에서 온도차가 있으면, 온도가 높아서 열운동이 활발한 쪽의 분자들은 주변 분자들 과 충돌해 운동 에너지를 잃고 온도가 낮아지는 반면 주변의 분자들은 운동에너지를 얻어 상대적으로 온도가 올라간다. 이웃한 분자들 사이의 충돌에 의해 열이 이동하는 것을 열전도라고 한다.

단면적이 A이고 길이가 l인 금속 막대의 양끝의 온도가 각각 T1, T2(T1>T2)일 때, △t초 동안에 이 막대를 통해서 이동하는 열량 Q는 단면적 A와 온도차 T1 -T2, 그리고 시간 △t에 비례하고 막대의 길이 l에 반비례하므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.


(마) 배양실 같은 최적의 환경 조건에서 시간에 따른 미생물의 개체 수를 조사하면, 처음에는 서서히 증가하다가 시간이 지날수록 급격하게 증가한다는 것을 알 수 있다. 좋은 환경에서는 미생물의 개체수가 늘어나고 개체 수 증가량은 현재 개체 수와 비례하기 때문이다. 개체수의 증가율을 k, t시간후의 미생물의 개체수를 A(t)라고하면 개체 수의 변화는 d/dt A(t)= kA(t)이고 A(t)는 지수함수다.

환경조건이 좋지 않은 경우에는 시간이 지날수록 개체 수가 증가하는 양이 서서히 감소한다. 미생물의 이러한 개체 수 변화를 그래프로 그리면 S자 형태가 된다. 이를 S자형 생장곡선 또는 로지스틱곡선(logistic curve)이라 부른다. 이상적인 상태에서의 개체 수 증가율을 k, t시간 후 미생물 개체 수를 A(t)라 하고 M을 주어진 환경의 최대 미생물 개체수라고 하면, d/dt A(t)= kA(t) M-A(t)/M과 같은 식이 성립한다. A(t)가 충분히 작은 값일 때는 A(t)= kA(t)와 같은 형태로 개체수가 증가하지만 시간이 지날수록 증가율이 작아져서 생장곡선 S자형을 이룬다.

1) 3차원 공간에서 어떤 물체가 속도와 가속도의 방향이 항상 수직이 되도록 운동하고 있다. 이 물체의 속력이 일정함을 증명하라.

2) f(x)=2f'(x)+3, f(0) =4, f(x)≥3이라 할 때 f(x)를 구하라.

3) 어떤 집의 난방장치가 갑자기 고장 나서 집안의 기온이 내려가고 있다. 외부 온도가 a이고 난방장 치가 고장난 순간 집안의 온도가 b이며 난방장치가 고장난후 t초 후의 집안의 온도 f(t)라 할 때, f(t)의 시간에 따른 변화를 예측하라. (단 집 내부의 온도는 어느 위치에서든 동일하다.)

4) 미생물의 개체수가 제시문(마)의 S자형 생장곡선을 따라 증가할때, t시간 후의 미생물의 개체수 A(t) 를 구하고 t가 충분히 커지면 A(t)는 어떤 값에 수렴하는지 구하라.

5-1) g(t)=cost·f(t) -sint·f′(t), h(t)=sint·f (t) +cost·f′(t) 라 할 때 g(t), h(t), f(t) 사이의 관계식을 구하라. (단, f′(t)는 사용하지 않아야 한다.)

5-2) f′′(t) +f(t)=0, f(0)=3, f ′(0)=2이라 할 때, 4)의 g(t) 와 h(t)를 이용하여 f(t)를 구하라.



글 : 윤종선 기자 KuMing@pathfinder.or.kr
과학동아 2009년 03호


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