[수학]특이적분과 개념함수

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노량진 메가스터디 수리논술단과 대표 강사이며 오승준 수리논술팀 연구실장으로 메가스터디 온라인 강사로도 활동하고 있다. 올해부터는 로스쿨 대비를 위한 법학적성시험(LEET)에서 추리논증을 가르치고 있으며 수리뿐 아니라 논리학의 재미에 빠져 그 영역을 넓히고 있다.

여러 가지 문제를 해결하면서 특이적분과 감마함수의 개념을 익혀봅시다.

Q_1
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.



전문가 클리닉
이 문제는 고교 교육과정 밖의 내용을 제시문에 담고 있습니다. 하지만 제시문을 정확히 이해하이 문제는 고교 교육과정 밖의 내용을 제시문에 담고 있습니다. 하지만 제시문을 정확히 이해하고 제시된 사실을 바탕으로 앞 논제부터 차근차근 해결해 나간다면 쉽게 풀 수 있습니다. 주의할 점은 뒤 논제를 풀 때 앞 논제의 결과를 이용할 수 있는지 없는지에 대한 판단을 정확히 해야 한다는 점입니다. 특정 논제의 결과를 이용하라는 지시사항이 없을 때 함부로 앞의 결과를 이용하면 스스로 함정에 빠지게 됩니다.

Г(n)을 차례곱함수로 나타내면 Г(n)=(n-1)!이다. 앞의 결과 Г(x+1)=xГ(x)를 이용해 설명할 수 있다. 식의 x에 1부터 대입하면 논제 1에서 구한 바에 따라 Г(1)=1이므로
Г(2)=1·Г(1)=1
Г(3)=2·Г(2)=2·1·Г(1)=2
Г(4)=3·Г(3)=3·2·Г(2)=3·2·1·Г(1)=6
Г(5)=4·Г(4)=4·3·Г(3)=4·3·2·Г(2)
=4·3·2·1·Г(1)=24
이 성립한다. 따라서
Г(n)=(n-1)Г(n-1)
=(n-1)·(n-2)…2·1·Г(1)=(n-1)!
이다. 수학적 귀납법으로 증명하면 자연수 n에 대한 명제 Г(n)=(n-1)!는 n=1일 때 Г(1)=0!
=1이므로 성립한다. 그리고 n=k일 때 Г(k-1)라고 가정하면 Г(k+1)=kГ(k)이므로 Г(k+1)
=kГ(k)=k·(k-1)!=k! 이 돼 Г(n)=(n-1)!는 참이다.



Q_2
다음 글을 읽고 물음에 답하라.

(가) 유체 내부의 특정한 위치에 작용되는 압력은 힘의 면적에 대한 비로 정의된다. 즉 압력은 단위면적(1m2)당 힘이다. 유체의 압력 크기는 깊이에 의해서만 결정된다. 밀도 ρ인 유체 속의 깊이 h에서 판이 받는 압력은 ρgh(단 g는 중력가속도)이고 힘의 방향은 물체의 표면에 항상 수직이다.

(나) 만약 어떤 유체가 통 안에 정지해 있다면 유체의 모든 부분은 정적 평형상태에 있다. 또 같은 깊이에 있는 모든 유체는 같은 압력을 받는다. 만약 그렇지 않다면 유체의 그 부분이 평형상태라고 볼 수 없다.

댐을 설계할 때는 댐이 받을 힘을 계산해야 한다. 그림과 같은 사다리꼴 모양의 댐에서 수위가 댐의 꼭대기로부터 4m일 때 수압으로 인해 댐에 가해지는 힘을 구하라. (단 물의 밀도는 1000kg/m3 , g=9.8m/s2, 압력의 SI 단위는 파스칼[N/m2]이다.)

글 : 이창훈 기자 vmfgksmf40@hanmail.net
과학동아 2008년 11호


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