도형의 마술

수학과 레크리에이션의 만남

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종이를 접고 자르다 보면 별 희한한 도형들이 다 만들어진다.

풀어보고


1 다음 네 조각의 도형은 접어서 어떤 도형을 만들도록 연결돼 있다. 다음중 어느 도형이 만들어질까?
①삼각형
②사각형
③원
④평행사변형


이미지 확대하기네 조각의 도형네 조각의 도형
 

2 같은 길이를 갖는 정사각형과 정삼각형이 무한히 있다고 가정하자. 그림에서 보여주는 것처럼 이 정삼각형과 정사각형을 갖고 3개에서 10개까지의 변을 지닌 볼록다각형을 만들 수 있다. 그런데 이런 식으로 계속해서 볼록다각형을 만들어가면 변을 몇개 가진 다각형까지 만들 수 있을까?
①11
②12
③15
④20


이미지 확대하기무한한 정사각형과 정삼각형무한한 정사각형과 정삼각형
 

3 다음 (그림A)와 같이 9×12크기의 깃발을 네 조각으로 잘라 (그림B)와 같이 만들려면 어떻게 자르면 좋겠는가?
①1
②2
③3
④4


이미지 확대하기깃발 네 조각으로 자르기깃발 네 조각으로 자르기
 

4 다음과 같은 직각삼각형을 포함하는 그림은 피타고라스의 정리를 기하학적으로 설명할 때 사용되는 그림이다. 이때 생기는 삼각형 1,2,3의 크기는 서로 어떤 관계에 있을까?
①1>2>3
②1<2<3
③1>2=3
④1=2=3


이미지 확대하기피타고라스의 정리를 기하학적으로 설명할 때 사용되는 그림피타고라스의 정리를 기하학적으로 설명할 때 사용되는 그림
 

5 그림과 같은 정육면체의 전개도중 정육면체가 안 만들어지는 것이 두개 있다. 어느 것일까?
①1,2
②2,4
③3,5
④4,6


이미지 확대하기정육면체의 전개도정육면체의 전개도
 

맞춰보고

1 ①과② 이 문제의 도형을 여러분이 직접 접어보길 바란다. 접어보면 아래 그림과 같이 삼각형도 되고 사각형도 된다. 최근 어떤 전신전화회사에서는 이 그림을 광고로 낸 뒤 "많은 회사들이 모든 문제를 한가지 해결책으로만 풀려고 합니다. 보다 넓은 시야를 가진 회사와 만나 보십시오"라고 썼다. 이 문제를 통해 과학기술세계에서는 수직형 사고가 아닌 수평적 사고가 요구된다는 점을 인식했으면 좋겠다. 위로 접으면 사각형, 밑으로 접으면 삼각형이 된다


이미지 확대하기도형 접기도형 접기
 

2 ②정사각형(내각은 90°)과 정삼각형(내각은 60°)을 연결해 볼록다각형을 만들 때 그 볼록다각형의 내각은 180°가 되면 안되기 때문에 내각은 60°90°1백20°(60°+60°, 즉 정삼각형과 정삼각형의 만남) 1백50°(60°+90°, 즉 정삼각형과 정사각형의 만남) 등 4가지가 된다. 변의 수가 최대가 되려면 모든 내각은 1백50°가 돼야 하며 변의 개수는 12개가 된다.


이미지 확대하기볼록 다각형볼록 다각형
 

3 ③크기가 꼭 같다는 조건은 없었다. 그러므로 네조각을 크기가 같게 자르려고 애썼다면 풀기 어려웠을지 모른다. 다시 만든 깃발은 다음과 같다.


이미지 확대하기깃발 네 조각으로 자른 그림깃발 네 조각으로 자른 그림
 

4 ④피타고라스의 정리는 "직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 다른 두변의 길이 제곱의 합과 같다"는 것이다. 이것을 도형으로 증명할 때 문제의 그림이 쓰인다. 이때 생기는 세 삼각형의 크기는 어떤가. $\overline{AB}$=a, $\overline{BC}$=b, $\overline{AC}$=c라하고 a와 c의 사이각을 α라 하자. 피타고라스의 정리에 의해 ${c}^{2}$=${a}^{2}$+${b}^{2}$이다. 삼각형 1의 넓이는 사인(sine) 공식에 의해 $\frac{1}{2}$ac sin(180°-α)=$\frac{1}{2}$ac sin α=$\frac{1}{2}$ab(∴b=c sin α) 이와 똑같은 방법으로 2의 넓이도 ab/2임을 알 수 있다. 삼각형 3은 변이 각각 a,b인 직각삼각형이므로 그 넓이는 쉽게 ab/2임을 알 수 있다. 따라서 이 세 삼각형은 넓이가 같고, 또 원래 직각삼각형의 넓이와도 같다.

5 ③이 문제는 도형과 관계된 문제중 가장 기본되는 예다. 공간적 추리력을 사용해 하나하나 맞춰보면 3번과 5번의 전개도에선 겹치게 되는 면이 있다. 각각의 면에 *으로 표시되는 면이 서로 겹친다. 즉 정육면체의 전개도 문제는 서로 겹치는 면이 생기나를 확인하는 것이 가장 중요하다.


이미지 확대하기정육면체의 전개도정육면체의 전개도
 

글 : 유승현 교수
과학동아 1992년 10호


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