[수학동아클리닉] 점, 선 ,면의 확장

수학레시피 I 중등

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‘같다’의 의미를 위상수학적인 측면에서 고찰해보며, 수학적 대상의 특징과 성질을 알아본다. 다양한 관점에서 ‘같다’의 의미를 적용해 수학적 사고를 확장하는 계기를 만들고자 한다.

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(1) ‘같다’는 것은 무엇일까?
사전에서는 ‘같다’를 ‘서로 다르지 않고 하나다’라고 정의한다. 수학에서 ‘같다’는 말은 어떻게 정의할까? 우선 몇 가지 예를 찾아보자. ‘같다’라고 하면 가장 먼저 떠오르는 것이 등호 ‘=’이다. 도형에서도 ‘같음’에 대해 배웠다. 바로 ‘합동’이다. 그렇다면 다음 두 도형은 ‘같다’고 할 수 있을까?
아마도 대부분 ‘다르다’고 할 것이다. 그런데 이 두 도형이 ‘같다’고 말하는 수학 분야가 있다. 위상수학이다. 위상수학에서는 위 두 도형을 ‘위상동형’이라고 말한다. 쉽게 말해 위상적인 관점에서 두 도형은 ‘같다’는 것이다.

(2) 기하학에서 ‘동형’에 대한 정의
이제부터 우리는 도형에서 ‘같다’는 의미가 어떻게 쓰이는지 알아볼 것이다. 그리고 앞으로 ‘같다’는 말 대신 ‘동형’이라는 말을 사용하겠다. 기하학에서 ‘동형’은 본질적으로 서로 같은 도형을 말한다.

(3) 위상동형
이어져 있는 것을 떨어뜨리거나 떨어져 있는 것을 붙이지 않고, 한 도형을 자유롭게 변형했을 때 다른 한 도형이 되면 두 도형은 위상동형이라 한다.
위의 두 도형은 서로 위상동형이다. 선의 경우 무한히 늘릴 수 있는 고무줄이라 생각하는 게 좋다.

(4) 위상동형과 입체도형
입체도형에서 위상동형은 어떤지 생각해 보자. 입체도형 역시 평면도형과 마찬가지로 붙어 있는 것을 자르거나 떨어져 있는 것을 이어붙이지 않고 자유롭게 늘리거나 줄여 서로 같은 모양이 되면 두 도형을 위상동형이라 한다. 아래 그림에서 커피잔과 도넛은 위상동형이다.
(5) 위상동형과 한붓그리기
위상동형은 다양한 문제에 쓰이는데, 그중 하나가 한붓그리기다. 한붓그리기의 대표적인 문제가 바로 ‘쾨니히스베르크의 다리 건너기 문제’다. 오른쪽 그림과 같이 육지와 육지를 잇는 7개의 다리가 있다고 해보자. 그러면 다음 질문을 어떻게 해결할 수 있을까?
오랫동안 해결되지 않던 이 문제는 오일러가 위상동형을 이용해 해결했다. 아래 그림을 보면 다리와 강을 기준으로 A, B, C, D 4개의 지역이 있다. 오일러는 각 지역을 점으로, 다리를 선으로 생각해 문제를 다음과 같이 바꿨다.
즉, 육지를 점으로 다리는 선으로 생각하면 다리 문제와 변형한 도형은 서로 위상동형이다. 따라서 위 문제는 아래와 같이 바꿀 수 있다.
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중학교에서 배우는 점, 선, 면의 내용을 확장해 실생활에서도 수학의 원리가 쓰이고 있다는 사실을 학생들이 몸소 체험할 수 있게 만든 수업이다. 다양한 형태의 학습 활동을 통해 수학적 사고력과 추론 능력뿐만 아니라 의사소통, 문제 해결 능력까지 키울 수 있다. 다양한 영역에서 융합 교육을 경험할 수 있을 것이며, 현실에서 수학의 필요성과 효용성을 느낄 수 있을 것이다.

글 : 안정덕 교사
글 : 김경환 기자 dalgudot@donga.com
수학동아 2016년 11호


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