수학자가 남긴 선물, 입체도형

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선생님, ‘입체도형’은 상상하기가 어려워요!

입체도형은 평면도형과 다르게 면의 개수나 꼭짓점의 개수가 늘어날수록, 머릿속으로 그 모양을 상상하기가 어렵습니다. 물론 익숙한 정육면체나 구와 같은 도형은 눈감고도 그릴 수 있지만요. 어떻게 해야 복잡한 입체도형을 정확하게 기억할 수 있을까요? 다음 문제를 함께 살펴봅시다.

정십이면체와 정이십면체 중 어떤 것이 더 구에 가까 울까? 또 그 이유를 생각해 보자.

사실 대부분의 학생들은 정십이면체와 정이십면체의 모양을 떠올리는 것만으로 힘들어 합니다. 그럼 그 모양을 쉽게 그려 볼 수 있는 평면도형으로부터 출발해 봅시다. 정다각형은 꼭짓점의 개수가 많아질수록 자연스럽게 원에 가까워집니다. 그렇다면 정다면체의 경우도, 꼭짓점의 개수가 많은 정이십면체가 구에 더 가까울까요?

정다각형은 한 외각의 크기가 작아질수록 원에 가까워집니다. 그렇다면 정다면체인 정십이면체와 정이십면체도 한 외각의 크기를 알면, 정답을 알 수 있겠죠? 정십이면체와 정이십면체의 한 내각의 크기는, 전개도에서 한 꼭짓점에 모인 정오각형 또는 정삼각형의 개수로 알 수 있습니다. 정십이면체는 정오각형이 3개, 정이십면체는 정삼각형이 5개 모여 있으니 오른쪽 그림처럼 각 도형의 한 내각의 크기는 324°와 300°가 됩니다.

그렇다면 외각의 크기는 어떻게 알 수 있을까요? 360°-(한 내각의 크기)를 이용하면 됩니다. 펼쳐진 전개도에서 내각을 제외하고 모두 각 도형의 외각이 되기 때문이에요.

이대로라면 정십이면체가 정이십면체보다 더 구에 가깝다는 결론이 나옵니다. 한 외각의 크기가 더 작으니까요. 사실 다면체가 얼마나 구에 가까운가를 측정하는 방법에는, 다면체에 내접하는 공과 외접하는 공의 지름의 비를 살펴보는 방법도 있습니다. 즉 (다면체에 외접하는 구의 지름)/(다면체에 내접하는 구의 지름)이 1에 가까울수록 구에 가깝다는 이야기죠.

그러나 이번 문제에서는 이 방법을 이용하면 정십이면체와 정이십면체가 비슷한 값이 나와 결과를 한 눈에 알기 힘들어요. 이 때문에 외각을 이용한 것이랍니다.
 
선생님, 입체도형의 성질은 왜 배워야 하나요?

사실 세상에는 정말 많은 물건이나 건축물들이 입체도형과 닮은 모습을 하고 있습니다. 단순히 학교와 교실, 학생들의 책가방만 떠올려도 수많은 입체도형을 발견해 낼 수 있죠. 하지만 그 속에서 학교 수업시간에 배운 내용들을 찾아보기는 쉽지 않다고요?

학교에서 공부한 입체도형의 성질은 일상생활에 적용되는 모습과 조금 다르기 때문이에요. 교과서에는 입체도형들을 일반화하고 추상화하여, 가장 대표적인 도형의 이름과 정의, 설명을 적어 놓았거든요.

물론 도형을 분류하고 정리하는 과정에서 얻어지는 결과들이 예기치 않게 생활 속에 활용되기도 해요. 예를 들어 필통을 디자인한다고 생각해 봅시다. 원기둥 모양의 딱딱한 재질의 필통을 만든다고 가정하면, 우선 원기둥의 전개도를 그려야겠죠. 그러려면 기본적으로 원의 둘레와 넓이, 나아가 원기둥의 겉넓이와 부피를 계산할 줄 알아야만 합니다. 이처럼 기본적인 입체도형의 성질을 알아야 제품을 디자인하거나, 건축물을 제작할 수 있답니다.

입체도형의 성질, 이것만은 꼭!

처음 도형을 배울 때 점, 선, 면, 각, 위치관계에 대해서 배웠었죠? 평면도형이나 입체도형을 공부할 때에도 마찬가지입니다.

가장 먼저 점과 관련된 요소(꼭짓점의 개수), 선과 관련된 요소(대각선의 개수, 모서리의 개수), 면과 관련된 요소(면의 개수, 넓이, 겉넓이), 각과 관련된 요소(내각, 외각), 위치관계(평행, 꼬인 위치)를 떠올려야 한다는 사실이죠. 이 기준을 중심으로 도형의 특징을 공부하고 성질을 확장해 가야, 응용문제나 심화문제도 쉽게 해결할 수 있게 됩니다.

또한 ‘입체도형의 측정’ 부분에서는 다음과 같이 두 가지 기준에 따라 입체도형을 분류하고 측정하는 게 좋습니다. 단, 구는 기준 2가 적용되지 않는 특별한 회전체입니다.

따라서 이러한 분류체계를 이해한 뒤, 각 입체도형의 특징에 대해 공부하고 겉넓이와 부피를 구하는 방법을 익혀야 합니다. 특히, 각뿔대나 원뿔대의 경우 부피나 겉넓이 계산이 어려우므로 많은 연습이 필요합니다.
 
윤상혁 선생님의 특별 처방전!

아직 수학과 서먹한 사이라면, 때때로 의무적으로 데이트(?)를 해야 가까워질 수 있죠. 학생들은 요즘 실시간으로 스마트 폰이나 컴퓨터를 이용해 자신의 소소한 일상을 친구들과 공유하길 원하잖아요. 같은 원리로 수학도 실시간으로 자신의 현재 상태를 되짚어 볼수록 친밀해 질 수 있어요. 오늘 그 비법 세 가지만 전수할게요.

비법 하나, 수학일기를 쓰자!
일기는 보고서와 다르게 자신만의 언어로 씁니다. 누구를 보여 주기 위한 목적이 아니지요. 그렇기 때문에 매 수업 시간이 끝나고 그날 공부한 내용을 글이나 그림으로 표현해 본다면, 그 내용을 다시 한 번 기억하고 익힐 수 있게 됩니다. 이렇게 자신의 생각을 표현하다 보면, 선생님께 질문할 내용이나 수학 공부에 대한 학습계획 등을 정리할 수 있죠.

비법 둘, 오답노트를 정리하자!
만약 늘 실수하는 유형의 문제가 있다면, 이것은 ‘오개념’ 때문이에요. 개념을 처음부터 잘못 알고 문제를 접근하기 때문에, 늘 오답에 가까워지는 거죠. 이런 학생들은 오답노트 정리를 통해 자신이 어떤 개념을 잘못 알고 있는지 분석 해야 해요. 오답노트를 통해 오개념을 분석하고 올바른 개념을 다시 확인한 뒤, 비슷한 유형의 문제를 다시 풀어보는 거예요. 그럼 오개념의 함정으로부터 탈출할 수 있을 겁니다!

비법 셋, 나만의 문제를 만들자!
시험 때가 다가오면 학생들은 시험 문제 힌트를 달라고 아우성입니다. 물론 선생님들은 절대로 힌트를 직접적으로 공개하지 않죠. 하지만 분명 선생님들은 이미 여러 가지 방법으로 시험 문제에 대한 힌트를 곳곳에 남겼을 겁니다.

선생님이 평소 수업시간에 강조하는 내용을 잘 떠올려 보세요. 그리고 ‘내가 선생님이라면 어떤 문제를, 어떻게 낼까?’라는 생각으로 직접 문제를 만들어 보세요. 교과서에 나오는 기본개념을 충분히 이해한 뒤, 개념을 부분적으로 변형하거나 확장했을 때 어떤 결과가 나타나는지 탐구해 보세요.

사실 수학 지식은 인생을 살아가는 데 있어서 직접적으로 많이 사용되지는 않습니다. 그러나 수학으로 생각하는 과정은 꼭 필요하죠. 아마 성장할수록 반드시 해결해야 할 중요한 문제들을 만나게 될 겁니다. 그 중에는 혼자서는 해결할 수 없거나 때론 정답을 알 수 없는 문제도 있습니다. 이럴 때일수록 논리적으로 생각하는 게 중요하죠. 이것은 수학 문제를 풀기 위해서 거치는 과정과 같아요. 즉, 수학은 우리가 세상을 살아가면서 겪게 되는 다양한 문제들을 효과적으로 해결하는 데 결정적인 역할을 합니다. 이것이 바로 수학과 친해져야 하는 진짜 이유랍니다!

글 : 염지현 기자
도움 : 윤상혁 수학교사
사진 : 염지현 기자
수학동아 2012년 12호


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