그림과 놀이로 배우는 도형

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그림과 놀이로 배우는 도형그림과 놀이로 배우는 도형


“와~! 박사님. 신기한 작품이에요. 그림자에 걸어가는 사람이 보여요.”
“그렇지? 일본의 예술가 쿠미 야마시타의 작품이란다. 그림자를 이용해 재밌는 작품을 만든 사람으로 유명하지. 벽에 여러 모양의 나무 입체 조각을 붙여 그림자가 사람이 되도록 한거야. 입체도형에 빛을 어떤 각도로 비추냐에 따라 그림자는 여러 가지 모양으로 바뀐단다.”
“그렇군요. 저도 그림자로 멋진 작품을 만들어 볼래요.”




고대 그리스의 수학자 아폴로니우스는 직원뿔을 여러 방향에서 잘라 생기는 단면의 모양을 관찰했다.원뿔의 모선과 밑면이 이루는 각을 θ, 원뿔을 자르는 평면이 밑면과 이루는 각을 α라 했을때, θ와α 값의 크기에 따라 생기는 곡선의 모양이 달랐다.

아폴로니우스는 θ=α일 때, θ와 α가‘같다’는 뜻에서 단면의 경계를 포물선(parabola)이라 불렀고, θ›α일 때는 α가 θ에 비해 ‘부족하다’는 뜻에서 단면의 경계를 타원(ellipse)이라 불렀다.

또 θ‹α일 때는 α가 θ를‘초과한다’는 뜻에서 단면의 경계를 쌍곡선(hyperbola)이라 불렀다. 오늘날 타원, 포물선, 쌍곡선의 어원은 아폴로니우스의 ‘원뿔곡선’에서 유래한 것으로 전해진다.
 

이 같은 원뿔곡선은 구 모양의 공에 빛을 비춰서도 확인할 수 있다.이 같은 원뿔곡선은 구 모양의 공에 빛을 비춰서도 확인할 수 있다.


이 같은 원뿔곡선은 구 모양의 공에 빛을 비춰서도 확인할 수 있다. 평평한 바닥에 공을 놓은 다음, 빛을 비추는 곳인 광원의 위치를 A, 구의 중심을 C, 점 A에서 구면에 접선을 그었을 때 구면과 만나는 점을 B, 접선이 바닥 평면과 만나는 점을 P라 하자. 이때 점 P가 움직이며 그리는 곡선이 공의 그림자 경계다.
 


그림①과 같이 수직으로 빛을 비추면 원 모양의 그림자가, 그림②처럼 구보다 높은 곳에서 빛을 비스듬히 비추면 타원 모양의 그림자가 생긴다. 또 그림③과 같이 구의 높이에서 빛을 비스듬히 비추면 포물선 모양의 그림자가 생기고, 그림④와 같이 구의 중심과 같은 높이에서 빛을 옆으로 비추면 쌍곡선 모양의 그림자가 생긴다.





 

지구는 하루에 한 바퀴 자전하므로 해가 만들어내는 그림자는 1시간에 15°(=360°÷24)씩 회전한다. 이 사실을 이용해 수평면에 수직으로 막대를 세우면 해의 그림자로 시간을 알 수 있다.

우리 옛 조상은 오래전부터 그림자를 이용해 시간을 알았는데, 대표적인 예가 조선시대 세종 때의 해시계 ‘앙부일구’다. 오목한 반구(구의 반쪽) 모양으로 해를 우러러본다는 뜻에서 앙부일구라고 이름을 지었다.

절기와 시각은 오목한 면에 눈금을 그려 나타냈다. 해가 가장 짧다는 동지에서 시작해 해가 가장 긴 하지에 이르기까지 24절기를 가로선에 그어 표시했고, 가로선에 수직인 세로선에 시각을 나타냈다. 해의 그림자를 활용한 조상의 지혜가 돋보인다.



글 : 김흥규 교사
사진 : 염지현
진행 : 장경아 기자
일러스트 : 김대호
수학동아 2011년 11호


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