진실 혹은 거짓? 그림 속 도형 가능할까?

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원근을 무시한 그림, 이상한 도형을 만들다!
 

이미지 확대하기네덜란드의 화가 에셔의 1961년 판화작품 네덜란드의 화가 에셔의 1961년 판화작품
 

오른쪽 그림은 네덜란드의 화가 에셔의 1961년 판화작품 ‘폭포’ 다. 이 그림을 가만히 살펴보면 이상한 것이 보인다. 바로 물의 흐름이다.

보통 물은 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐르는 것이 자연의 법칙인데, 그림 속의 물은 낮은 곳에서 높은곳으로 올라간다. 어떻게 이런 일이 일어났을까?

우선 미술의 관점에서 보자. 그림 속에 있는 세로 방향의 기둥을 잘 살펴보면 앞쪽에 있어야 할 기둥과 뒤쪽에 있어야 할 기둥이 서로 연결돼있다. 원근(멀고 가까움)을 무시해서 교묘하게 그린 것이다.

그렇다면 수학적으로 생각해보면 어떨까?

이 그림에는 삼각형 구조가 3개 있다. 물길의 흐름에 주목하면 물은 알파벳 B자 모양으로 흐른다.

이런 구조가 그림에서는 가능한 것처럼 보인다. 마치 한 각이 60°인 삼각형 구조처럼 보인다. 심지어 계단 모양까지 그럴 듯하게 그릴 수 있다. 그런데 실제로 이런 구조는 불가능하다. 그래서 이런 삼각형 구조를 ‘불가능 삼각형구조’ 라 부른다.

한편 에셔의 또 다른 작품 ‘오르기와 내려가기’ 에서도 독특한 구조의 계단을 찾을 수 있다. 이 계단은 순환하는 무한계단처럼 보이지만 실제로는 불가능하다. 입체도형을 평면에 그리면서 나타난 착시다. 이 같은 무한계단은 영화에서도 등장했다. 2010년 개봉한 영화 ‘인셉션’ 에서는 꿈을 설계하는방법을 알려주는 장면에 무한계단이 등장했다. 반복되는 무한계단은 영화의 핵심 내용이었던 순환구조와 의미가 일치한다.
 

이미지 확대하기영화 ‘인셉션’에 나오는 무한계단.영화 ‘인셉션’에 나오는 무한계단.
 

이미지 확대하기아하! 생각이 쑥쑥! 펜로즈 삼각형의 활용아하! 생각이 쑥쑥! 펜로즈 삼각형의 활용
 

삼각형의 세 각의 합은 180°다. 그런데 두 각이 모두 90°인 삼각형이 있다. 1954년 영국의 물리학자이자 수학자인 로저 펜로즈는 세 막대를 이용해 두 각이 직각인 도형을 고안한 뒤, 그림으로는 가능하지만 실제로는 불가능한 삼각형을 영국 심리학회지에 발표했다. 이런 이유로 사람들은 이 삼각형을 ‘펜로즈의 삼각형’ 이라 부르게 됐다. 그러나 어떤 이들은 그 특성에 맞춰 ‘불가능 삼각막대’ 라고 부르기도 한다.
 

이미지 확대하기펜로즈의 삼각형펜로즈의 삼각형
 

그런데 이런 도형은 펜로즈가 처음 생각한 것은 아니다. 이 삼각형은 1943년 스웨덴의 화가 오스카르레우테르스베르드의 작품에 처음 등장했다. 1982년에는 스웨덴 정부가 그의 작품을 기려 우표를 발행했다.

흥미롭게도 네덜란드 화가 에셔의 예술작품은 물론이고, 펜로즈의 삼각형은 실제 조형물에서도 찾을 수 있다. 예를 들어 오스트레일리아 퍼스란 지역에는 펜로즈의 삼각형을 볼 수 있는 조형물이 있다. 세 개의 막대가 분명히 떨어져 있음에도 불구하고 특정한 각도에서 보면 삼각형처럼 보인다.
 

이미지 확대하기오스트레일리아 퍼스에 있는 조형물. 보는 각도에 따라 세 변이 점점 붙어, 특정한 각도에서는 삼각형으로 보인다.오스트레일리아 퍼스에 있는 조형물. 보는 각도에 따라 세 변이 점점 붙어, 특정한 각도에서는 삼각형으로 보인다.
 

글 : 김흥규 교사
수학동아 2011년 06호


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