입체도형 종합선물세트

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이미지 확대하기입체도형 종합선물세트입체도형 종합선물세트
 

무더운 여름, 언제 어디서든 쉽게 먹을 수 있는 시원한 ‘입체도형’맛 통조림을 만들었습니다. 가지각색의 다면체에 회전체 토핑을 얹은 ‘입체도형’맛 통조림! 맛이 궁금한 수학동아 친구들, 지금 바로 통조림을 따 보세요!

입체도형은 초등학교 1학년 과정에서 여러 가지 물건에서 입체도형을 찾는 활동을 통해 처음 배웁니다. 2학년 때는 쌓기나무를 이용해 입체도형을 만드는 활동을 합니다. 5학년이 되면 직육면체와 정육면체의 구성요소와 성질을 공부한 뒤 전개도와 겨냥도를 그리는 방법을 학습합니다. 6학년 과정에서는 각기둥과 각뿔, 원기둥의 성질을 알고 전개도를 이해합니다. 전개도를 통해 입체도형의 겉넓이와 부피도 구합니다. 중학교 1학년이 되면 다면체와 회전체의 성질을 공부합니다.

지구 곳곳이 입체도형

우리가 살고 있는 공간을 흔히 3차원이라고 하지요? 3차원 공간에 있는 도형을 입체도형이라고 합니다. 3차원에 살고 있는 우리는 곳곳에서 입체도형을 만날 수 있습니다.

초등학교 1학년 때는 우리 주변에서 직육면체와 원기둥, 구 같은 모양을 찾는 활동을 시작으로 입체도형을 만납니다. 학년이 올라가면 쌓기나무를 이용해 입체도형을 직접 만듭니다. 초등학교 고학년이 되면 전개도와 겨냥도를 이용해 입체도형을 직접 그리고 만들 수 있습니다. 나아가 각 입체도형에 대한 성질과 특성도 알아 갑니다.

우리가 살고 있는 지구는 어떤 모양인가요? 완벽하진 않지만 구와 같은 모양입니다. 구에는 어떤 규칙이 있을까요? 어떤 도형을 구라고 부르는 것일까요? 지금부터 해답을 알아봅시다. 더불어 입체도형에는 어떤 성질이 있는지, 어떻게 만들어지는지, 학교에선 어떤 내용을 배우는지 살펴봅시다.

만남1_입체도형이란 무엇인가요?

초등학교 1학년 때는 아이스크림에서 원뿔을, 필통에서 직육면체를 찾는 것처럼 여러 가지 물체에서 직육면체와 원기둥, 구의 모양을 찾는 활동을 합니다. 2학년이 되면 쌓기나무로 만들어진 입체도형을 보고 똑같이 만들거나 주어진 쌓기나무로 여러 가지 입체도형을 만들면서 입체도형을 공부합니다.

교과서에는 문구점에서 상자 모양과 둥근기둥 모양, 공 모양을 찾고 이 모양으로 이루어진 물건을 만드는 활동이 제시돼 있습니다. 이러한 활동은 우리 주변에서 흔히 볼 수 있는 사물을 수학적으로 생각하는 힘과 입체도형에 대한 감각을 키워 줍니다. 특히 초등학교 고학년이 됐을 때 입체도형의 성질을 이해하는 밑거름이 되기 때문에 중요한 활동입니다.

만남2_입체도형에는 어떤 것이 있나요?

초등학교 5학년이 되면 직육면체와 정육면체의 구성요소를 배운 뒤 성질을 공부합니다. 6학년 때는 각기둥과 각뿔, 원기둥과 원뿔의 차이점과 회전체에 대해 배웁니다. 또 5학년 때 배운 내용을 바탕으로 여러 가지 입체도형의 성질과 구성요소에 대해 학습합니다. 중학교 1학년이 되면 각기둥과 각뿔, 직육면체로 알고 있던 입체도형을 다면체로 정의합니다. 원기둥이나 구와 같은 도형이 회전체라는 사실도 알게 됩니다.

만남3_입체도형을 만들고, 측정할 수 있을까요?

초등학교 1, 2학년 때는 다양한 입체도형의 이름이나 성질보다는 그 모양을 아는데 중점을 둡니다. 5학년이 돼서야 여러 가지 입체도형의 정확한 이름과 성질을 공부합니다. 특히 입체도형을 보고 따라 그리는 것이 아니라, 겨냥도나 전개도를 이용해 수학적으로 정확한 입체도형을 그릴 수 있습니다.

6학년이 되면 원기둥과 원뿔, 각기둥, 각뿔의 전개도와 겨냥도를 그리는 방법을 배웁니다. 또 전개도로 그릴 수 있는 입체도형인지 아닌지도 판단할 수 있습니다. 이는 3차원 입체도형을 2차원 평면으로 가지고 와 생각하는 단순한 문제가 아니라, 마주보는 면이 어떻게 위치하는지 등과 같은 추론문제입니다.

추론문제는 쌓기나무를 통해서도 만납니다. 쌓기나무로 만든 여러 가지 입체도형을 보고 사용된 쌓기나무의 개수를 구하거나 쌓기나무를 하나 빼면 어떤 모양이 되는지, 위에서 볼 때, 옆에서 볼 때, 각각 어떤 도형이 생기는지 알아보는 문제가 그 예입니다. 이런 추론문제는 문제해결력을 키우는데 도움이 됩니다.

학생들은 겨냥도와 전개도를 이용해 겉넓이와 부피도 계산할 수 있습니다. 겨냥도와 전개도를 보며 입체도형을 만들기 위해 어떤 도형이 얼마만큼 필요한지 그 양을 측정할 수 있게 되지요.

왜 입체도형을 알아야 하지?

삼각형과 사각형, 원 같은 평면도형만 알아도 문제해결력, 창의력이 생기는데 왜 입체도형까지 배워야 하는 걸까요? 배우면 확실히 도움이 되는 걸까요? 이런 물음에 대해 명쾌한 답을 지금부터 알려 드릴게요.

이유1 공간지각력이 필요해
 

이미지 확대하기건물을 짓기 전에 건축가는 실제 건물을 축소한 건물모형을 만든다. 모형을 만들려면건물을 짓기 전에 건축가는 실제 건물을 축소한 건물모형을 만든다. 모형을 만들려면
 

3차원 공간에 있는 입체도형을 2차원 평면에 그리거나, 반대로 2차원 평면에 그려진 입체도형을 보고 3차원 공간에 있는 모형으로 만들려면 어떠한 능력이 필요할까요? 바로 공간지각력이 있어야 합니다. 공간지각력은 상하, 좌우, 전후로 이루어지는 공간관계를 감지하는 능력입니다.

물체를 볼 때, 우리 눈에 보이는 부분이 전부는 아닙니다. 우리는 눈에 보이는 정면만을 볼 뿐 물체의 옆면이나 뒷면을 보지 못합니다. 따라서 겨냥도를 그릴 때 우리가 보지 못하는 부분을 추측해 그려야 합니다. 즉 공간지각력이 필요하지요.

건축물에서 바닥과 천장이 분리돼 어느 정도의 높이를 유지해야 이 안으로 사람이나 가구가 들어갈 수 있습니다. 천장과 바닥을 분리시켜 줄 수 있는 도구가 필요하다는 것이지요. 이것을 깨달은 건축가는 그 도구로 기둥을 만들었습니다. 기둥은 건물을 지탱해 주는 역할까지 해 더 튼튼한 건물을 만들 수 있었지요. 천장과 바닥을 잘 연결하려면 밑면이 서로 평행해야 합니다. 그래서 건축가는 기둥의 모양을 직육면체나 원기둥과 같이 밑면이 평행한 입체도형으로 만들었습니다. 또 건축물의 배치나 모양을 쉽게 알아보기 위해 건축가들은 겨냥도도 그립니다.

공간지각력은 건축물을 지을 때뿐만 아니라 길을 찾거나 물건을 배치하는 등 공간과 관련된 모든 일을 할 때 필요합니다.

이유2 측정 능력이 필요해

직육면체 모양의 선물상자를 만들려면, 가장 먼저 상자의 크기를 정하고 상자를 만들수 있을 만큼의 재료를 사야 합니다. 재료를 적게 사면 상자를 만들 수 없고 많이 사면 재료가 남아, 버리는 부분이 많아지므로 측정을 통해 적당한 양을 사야합니다. 즉 물건의 크기를 측정할 줄 알아야 합니다.

다면체와 회전체의 크기는 전개도와 겨냥도를 통해 구할 수 있습니다. 겉넓이는 전개도를 이용해서, 부피는 겨냥도를 이용해서 구할 수 있습니다. 가장 적은 재료를 사용해 많은 상자를 만들려면 상자의 전개도를 그릴 때 공간 활용을 잘 해야 합니다. 남는 공간이 없도록 전개도 모양과 크기를 고려해 그려야 합니다. 이런 모든 활동은 측정과 관련이 있습니다.

교과서에 숨은 의미와 그림자 찾기!

여러분은 수학공부를 어떻게 하나요? 문제만 반복해서 풀고 있진 않은가요? 문제를 많이 푸는 것도 좋지만 수학 교과서를 꼼꼼히 읽어 보세요. 교과서에는 중요한 내용이 많이 들어 있답니다. 미처 발견하지 못한 교과서에 숨겨진 내용을 공부하면서 수학실력을 쑥쑥 키워 보세요!

초등학교 수학 교과서 5-가 64쪽
 

이미지 확대하기초등학교 수학 교과서 5-가 64쪽초등학교 수학 교과서 5-가 64쪽
 

초등학교 5학년이 되면 직육면체와 정육면체의 전개도를 이해하고, 직접 그려 봅니다. 입체도형을 펼치는 방법은 다양하기 때문에 학생들은 다양한 방법으로 전개도를 생각해 봄으로써 사고력을 계발할 수 있습니다.

다음 교과서를 보면 ‘직육면체의 전개도를 그려 보세요’라는 질문이 있습니다. 그런데 가로, 세로, 높이의 크기가 3cm로 같은 정육면체를 그리도록 돼 있습니다. 정육면체가 직육면체에 포함된다는 사실을 알려 준 것입니다. 5학년 과정부터는 도형 간의 포함관계를 여러 활동을 통해 학습합니다. 4학년 과정에서 다양한 평면도형의 개념과 성질을 배우지만 평면도형 간의 포함관계를 배우지는 않습니다. 저학년 학생들은 여러 도형 사이의 관계를 거의 이해하지 못하기 때문입니다. 예를 들어 네 변의 길이와 네 각의 크기가 같은 정사각형을 보고 마름모라고 하면 의아하게 생각하고 틀렸다고 말합니다. 하지만 정사각형은 네 변의 크기가 같은 사각형인 마름모에 속하기 때문에 정사각형을 마름모라고 말해도 틀리지 않습니다.

초등학교 수학 교과서 6-가 61쪽

쌓기나무로 만든 입체도형을 위, 옆, 앞에서 본 모양을 그려 보고, 다른 방향에서 보면 어떤 모양이 될지 생각하는 활동은 공간지각력 향상에 도움이 됩니다. 그렇다면 교과서를 어떻게 활용하는 것이 더 좋을까요? 각 방향에서 본 쌓기나무의 모양을 그리고 몇 개의 쌓기나무로 이뤄져 있는지 쌓기나무의 개수를 세어 봅니다. 그리고 다음에 주어진 활동을 합니다. 그러면 반대 경우를 미리 생각해 보았기 때문에 쉽게 공부할 수 있습니다. 쌓기나무의 수를 하나씩 늘려가면서 어떤 모양이 될지 생각하는 것도 좋은 방법입니다.

중학교 수학 1학년 비유와 상징 253쪽
 

이미지 확대하기중학교 수학 1학년 비유와 상징 253쪽중학교 수학 1학년 비유와 상징 253쪽
 

중학교 1학년이 되면 정다면체를 학습합니다. 주어진 교과서에는 정다면체의 유형이 다섯 가지이며, 각 면의 모양과 한 꼭짓점에 모인 면의 개수를 기록하는 활동이 전개됩니다. 왜 정다면체는 다섯 가지 유형만 존재하는 것일까요? 그 이유에 대해 생각하면서 공부해 보세요.

정다면체의 발견

정다면체는 모든 면이 합동인 정다각형으로 이뤄집니다. 또한 각 꼭짓점에서 만나는 도형의 개수가 같은 입체도형으로 플라톤 입체라고도 불립니다. 정사면체와 정육면체, 정십이면체는 피타고라스학파가 발견했고, 정팔면체와 정이십면체는 테아이테토스가 발견했습니다. 유클리드는 각 면이 동일한 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체뿐이라는 것을 증명했습니다.

정다면체는 왜 다섯 종류밖에 없을까요? 정다각형은 모서리의 개수에 따라 여러가지가 있지만, 정다면체의 경우는 다릅니다. 그 해답은 하나의 꼭짓점에 모이는 정다각형의 개수에 있습니다.
 

이미지 확대하기정다면체의 발견정다면체의 발견
 

정다면체의 모든 면은 정다각형입니다. 정삼각형부터 차근차근 살펴봅시다. 각 꼭짓점마다 몇 개의 정삼각형이 모여야 입체도형이 만들어지나요? 2개로는 입체도형을 만들 수 없다는 사실을 금세 알 수 있습니다. 한 꼭짓점에 정삼각형 3개가 모여야 입체도형을 만들 수 있습니다. 이렇게 만들어진 입체도형이 정사면체입니다.

4개의 정삼각형이 모여도 입체도형이 만들어집니다. 피라미드 2개를 붙여 놓은 모양의 이 입체도형이 정팔면체입니다. 한 꼭짓점에 정삼각형 5개가 모이면 20개의 정삼각형으로 이루어진 다이아몬드 모양의 정이십면체가 만들어집니다.

정삼각형 6개가 한 꼭짓점에 모이면 어떻게 될까요? 아마도 평면이 될 겁니다. 정삼각형의 한 내각이 60°이기 때문에 6개가 모이면 60°×6=360°가 되지요. 7개 이상이 모이면 60°×7=420° 이상이 돼 입체도형이 만들어지지 않습니다.

이번에는 정사각형을 생각해 봅시다. 2개의 정사각형으론 입체도형을 만들지 못하고 3개가 모이면 정육면체가 됩니다. 정사각형의 한 내각이 90°이므로 정사각형 4개가 모이면 90°×4=360°가 돼 평면이 됩니다. 즉 4개 이상이면 입체도형을 못 만듭니다.

정오각형인 경우엔 한 꼭짓점에 3개가 모이면 정십이면체가 만들어지고, 4개 이상부터는 360°를 넘기 때문에 입체도형을 만들지 못합니다.

정육각형에 대하여 생각해 볼까요? 한 꼭짓점에 2개가 모이면 입체도형이 만들어지지 않고 3개가 모이면 120°×3=360°가 돼 이 이상은 입체도형을 만들 수 없습니다. 따라서 정육각형으로 이루어진 입체도형은 없습니다. 이 방법으로 계속 따져보면 정칠각형, 정팔각형… 등 앞에서 다룬 정다각형 외에는 입체도형을 만들 수 없다는 사실을 알 수 있습니다. 따라서 정다면체는 정사면체와 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체밖에 없습니다.

정다면체를 변형하면 다양한 입체도형이 만들어집니다. 대표적인 예로 ‘돔’이 있습니다. 돔은 텅 빈 반구 구조로 생긴 다면체 곡면입니다. 원형과 육각형, 팔각형의 모양으로 건물의 지붕이나 천장으로 쓰입니다. 건물의 지붕이나 천장을 돔 구조로 하는 이유는 다른 구조보다 튼튼하기 때문입니다. 정다면체나 정다각형 구조는 다른 형태의 입체도형보다 단단하고 안정하다는 특징이 있습니다.
 

이미지 확대하기이탈리아 피렌체 산타마리아델피오레 대성당에 있는 팔각형 모양의 천장.이탈리아 피렌체 산타마리아델피오레 대성당에 있는 팔각형 모양의 천장.

 

글 : 박현정 박사
수학동아 2010년 08호


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